闭区间上的连续函数必一致连续教材上是用致密性定理反证，这里用有限覆盖构造δ 若ff 在[a,b][a,b] 上连续，对于给定ϵϵ, 需要求得一个δδ 使得∀x1,x2∀x1,由有限覆盖定理，存在有限子覆盖B′⊂B. 现在因为这个B′有限，故可以对B′内元素进行标号B′={Bδ
证明如下图：有限覆盖定理是一个有用而且重要的定理．它是数学分析处理问题的一种重要方法，在数学各领域中都有广泛有限覆盖定理：如果H是闭区间C的一个无限开覆盖，那么必定能从H中挑出有限个开区间（注意半开半闭的不
∩ω∩ 一致连续性。1.因为在一个周期内的闭区间内是一致连续的，那么如果x,y落入到一个周期内，那么无需证明2.如果两个x,y落入到两个相邻的周期里面，因为\exists n\不一致连续：对任意\(\epsilon, x_1, \delta\)满足\[\dfrac{\delta}{x_1(x_1+\delta)} < \epsilon \] 只需将\(x_1\)取小，即可使不等式不恒成立，故不一致连续
≥０≤ 证明：一致连续性定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上一致连续因为f在[a,b]上连续，所以对于任意x∈[a,b],任意0,存在0,对于任意x'∈U(x;),有|f(x')-f(x)|5取H={U(x;)由有限覆盖定理，整个闭区域A就被从E中所选取的有限个开区域，k=1,2,…m)覆盖，取。现在设和是A中的任何两点且，这时，必属于(k=1,2,…m)中的一个，不妨设，即，则，表明和都属于，
＋＾＋ 则I构成对区间[a,b]的完全开覆盖则I构成对区间[a,b]的完全开覆盖因为[a,b]是闭区间，所以，根据有限开覆盖原理，在I内，存在有限个开覆盖，可以完全覆盖[a,b]因为[a,b]是闭区间，所以，根应用三：用有限覆盖定理证明迪尼(Dini)定理迪尼定理\{ f_n(x) \} 为定义在\left[a,b \right] 上的连续函数序列\{ f_n(x) \} 点态收敛于在[a,b] 上连续的函
