首先，我要把一致连续变成极限形式，这样方便和连续进行比较。一致连续的极限形式是：displaystyle \lim 刚才我们说过，对于有限开区间( a , b ) (a,b)(a,b),只要其端点处存在单侧极限，就能从连续推出一致连续。然而，这个命题反过来也是成立的，即对于开区间( a , b )
推论2.1 函数f ( x) 在[a, b) 上一致连续的充分必要条件是f ( x) 在[a, b) 上连续且f (b−) 存在。2.2 推论2.2 函数f ( x) 在(a, b] 上一致连续的充分必要条件是f在区间(a,b)上的每一点都连续的函数一定在该区间上一致连续。
在闭区间上连续，必定在此区间上一致连续。证明略) 一致连续概念的运用，对往后一些定理的证明起到了关键作用。我们先整理一下书上的概念：函数的一致连续性，是由函数的连续性延伸出来的概念，以自己的理解可以看成是在函数连续的条件下，取一个任意的正数ε,不论ε多么小，总存在一个正数δ,定义
1.连续性研究的是一个局部性质，也就是研究的是某一个x0的局部(x0-δ , x0+δ) 邻域的性质2.一致连续研究的是整个区间上的性质，是整体性的。假设：|x-x0|<δ;连续指的的某一点连续，一致连续指的是某个区间任意一点都连续。f（x）在区间I上，任意两点充分接近的情况下，函数值都是无限逼近的。也就是在区间I上处处连续
函数在区间上一致连续，可以推出函数在区间上每一点都连续，而函数连续并不能推出函数一致连续。但对于定义在闭区间的函数，函数每一点连续，却可以推出函数在该闭区间上一致连续由于[a，b]是紧集，存在有限开覆盖(x1-dx1，x1+dx1)(xn-dxn，xn+dxn)，令d=min(dx1dxn)，则对任意[a，b]中的x
